Pues vamos a ver, si descartas el uso de un plugin para WordPress, que sería la solución más rápida e incluso desatendida, se me ocurren dos opciones:
- Usar un script en bash para crear la copia de seguridad.
- Usar algún script en PHP u otro lenguaje, pero que ofrezca una interfaz gráfica.
Script en bash para crear la copia de seguridad.
Como veo que estás usando tu propio servidor VPS, puedes crear un script en bash que cree la copia de seguridad de la base de datos. Incluso puedes añadir al script la funcionalidad para subir la base de datos a algún servicio de alojamiento en la nube como DropBox o Google Drive.
Como buscas acelerar el proceso, podrías automatizar la ejecución del script con un cronjob. Esta opción tiene el inconveniente de que requiere de ciertos conocimientos avanzados, aunque recuerdo que hace algún tiempo ya se publicó en el foro un script para crear un backup de la base datos.
Usar Adminer, phpMyAdmin o similar.
La segunda opción es usar algún script con interfaz gráfica para gestionar bases de datos, como puede ser phpMyAdmin o Adminer. Ambos permiten exportar e importar bases de datos en un par de clicks y sin complicaciones. Personalmente siempre opto por usar Adminer, ya que me resulta más sencillo de instalar y configurar.
Como norma general, puedo recomendar la opción de emplear un script en bash cuando la base de datos a respaldar tiene un tamaño considerable. En caso contrario, prefiero recomendar el uso de un plugin (como puede ser UpdraftPlus) o el uso de Adminer.